J. Mehra and H. Rechenberg, The Historical Development of Quantum Theory, Vol. 5 (New York: Springer, 1987), Ch. II.5.

量子論の歴史を包括的に記述したMehraとRechenbergの大著 The Historical Development of Quantum Theory の第5巻は，シュレーディンガーの波動力学に関するものである．この記事では，シュレーディンガーの統計力学についての論述をまとめる．シュレーディンガーは長期間にわたって特定の研究プログラムに関わることはなかったと言われるが，少なくとも1921年から1926年のあいだは，統計力学に関係する問題に一貫して取り組んでいた．

例えば同位体とギブスのパラドックスについての問題がある．ヴィーンでは1914年ごろから，ヘヴェシーとペネートが同位体の化学的分離可能性について否定的な見解を提出していた．シュレーディンガーは「同位体とギブスのパラドックス」の中で，異なる同位体の混合エネルギーは，同位体の原子量の差からは独立であると主張した（1921；これは原理的には既に1902年にギブスが論じていた状況であった）．

固体の比熱の理論にもシュレーディンガーは取り組んだ．1921年にボルンとブローディは，単原子分子固体の比熱が非常な高温ではデュロン=プティの法則から外れることを（古典論では複雑になるとの理由で）量子論を用いて説明したが，シュレーディンガーは古典論の範囲でも，カノニカル・アンサンブルを用いることでボルンとブローディの結果が一気に得られることを主張した．また，量子論的なエネルギーの摂動項の計算を単純化した．しかし，この論文は，ボルンとブローディの成果を置き換えることを意図したものではない（1922）．

ブリルワンの研究（1922）を受けて，光と音のあいだの熱平衡を研究した．ブリルワンは，古典的な波動によって，回折格子での音波による光の散乱を考察した．X線回折に対する温度の影響への示唆，またデバイの理論（レイリー卿とアインシュタインの結果と一致しないことが判明していた）に対して批判的な態度を取るという点が，シュレーディンガーにとって刺激となった．1924年，シュレーディンガーは，光量子をもとに，ブリルワンの得た結果を再導出した．このとき，光線と音線を量子論的に扱い，光波と音波のあいだの平衡を記述した．

シュレーディンガーは，1923年から1925年にかけて，かなりの量の統計力学に関するノートを書いた．未公刊だが，おそらく1924年までに「分子統計学」なる本の計画を練っており，その第1部は古典統計（二つの力学系のあいだの熱平衡，カノニカル分布の応用，力学的モデルの一般的な熱的性質，ブラウン運動，浸透圧など），第2部は量子統計（多重周期系，線形振動子系の平衡，固体，気体，気体の解離と気化，気体の縮退，化学定数，熱放射など）を扱う予定だった．同時期の他のノートには，気体分子どうしの相互作用，相対論的な効果を受けている粒子の統計的性質に対する磁場の影響，化学定数と気体の縮退をダーウィン=ファウラーの方法を用いて論ずるものもある．「量子統計講義」のノートには，エントロピーの定義，エントロピーの関数，エネルギー状態の知識，多自由度系，周期運動，比熱の一般論，気体といった見出しが見える．その他，「量子統計」と題されたノート，分子どうしの放射の交換を扱う統計，確率最大の状態と平均的な分布との同一視についてのノート，ゆらぎについてのノートなどがある．以上のノートの内容は，かなりの部分が当時出版された他の物理学者によるレビュー論文などと類似している．おそらくシュレーディンガーも執筆を依頼されたものの，何らかの理由により放棄されたのだろう．ただ，1925年夏までの比熱に関する諸研究をシュレーディンガーがまとめた記事は， Handbuch der Physik に掲載された（1926）．

シュレーディンガーは1924年に，比熱の問題について2本の論文を出版した．Császár のプランクの放射則に関する議論が統計力学の原理と整合的ではないことを指摘した．また，水素分子の比熱に関する論文では，半整数の量子数を持つ水素分子の考察から，水素分子の回転エネルギーを計算，各量子状態に関して状態和を計算して分子の回転に由来する比熱を導いた．しかし，各状態への重率のつけ方などの問題があり，水素分子の比熱についての最終的な解決は量子力学の完成後に持ち越された．

「気体の縮退と自由行程」（1924）で展開された研究も重要である．この内容は「化学定数と気体の縮退II」なるノートでも展開され，特に同種粒子の計数法については別の論文を1925年に出版した．化学定数と気体の縮退という二つの問題が一緒に扱われるのは，ネルンストの熱定理に理由がある．ネルンストの1911年の講演は，分子の回転運動の量子化だけでなく，並進運動の量子化の試みをも刺激した．この結果が1911年から1919年にかけてのザックール，テトローデ，シュテルンらの化学定数の理論と，低温における理想気体の議論であった．これらの議論はライヒェが1921年に『量子論：その起源と発展』という本にまとめたが，その第5章の気体の量子論を扱った章では，第3節「気体の縮退」は気体分子の回転に関する節と化学定数に関する節の間に置かれている（並進運動の量子化はきわめて不十分な基礎しか与えられていないというのがライヒェの見解だった）．シュレーディンガーはこれを踏まえ，気体の縮退における特性温度と特性距離の役割を強調した．それまでの研究を特性距離によって二つに分類し，どちらも受け入れがたいと批判し，新たに特性距離を分子の平均自由行程程度の大きさに取って特性温度を計算した．気体中の分子に対する量子化条件と，気体の状態の定義に関する議論を通じて，量子状態の数え上げを実行し，分配関数，特性温度，エントロピーを計算した．

ここでシュレーディンガーが計算したエントロピーの値は，プランクによるものと Nk \log (N!) だけ異なっており，これはプランクの熱力学的確率に直せば 1/N! の違いだった．プランクは黒体放射の理論以来，絶対エントロピー決定という目標もあり，同種粒子を扱うときには一貫して N! による割り算を用いていた（たとえば1916年の量子理想気体の理論）が，エーレンフェストとトルカルは，プランクの議論では分子数への依存性が不明瞭であると批判していた（1920）．プランクはこれに対し，エーレンフェストらの方法では同じ状態が余分に数えられていると応答した．ヘルツフェルトとエンスコッグは異なるアプローチでN!による割り算を正当化しようとした（1922年〜23年）．シュレーディンガーは「化学定数と気体の縮退II」で，プランクの位相空間の分割は，スターリングの公式を適用するには小さすぎると批判した．どちらかと言えば，シュレーディンガーはエーレンフェストらの見解に親和的だった．だから，1923年に，自分のエントロピー表現に N! に由来する項がないことを認識しても特に驚きはなかった．しかし，1925年には，プランクのものを含むエントロピーの定義の可能性を探っている．この転換の理由は，ボース=アインシュタイン凝縮の登場に求められる．1924年8月，ボースによる「プランクの法則と光量子仮説」が出版され，アインシュタインはその出版を仲介するだけでなく，単原子分子気体が低温では縮退を示すこと，そのエントロピーはプランクの表現によって与えられることを示した．シュレーディンガーはこれを見て種々のエントロピーの定義を比較検討し，プランクのN!が正しい根拠を持つことを認めるに至った．

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J. Mehra and H. Rechenberg, The Historical Development of Quantum Theory, Vol. 5 (New York: Springer, 1987), Ch. I.5.

量子論の歴史を包括的に記述したMehraとRechenbergの大著 The Historical Development of Quantum Theory の第5巻は，シュレーディンガーの波動力学に関するものである．第一次大戦中のシュレーディンガーの研究を扱った部分を読んだ．統計物理学に関する部分を中心にまとめる．

1914年から1918年までに，シュレーディンガーは10本の論文を完成させた．これは，1915年7月から1917年夏まで彼が軍務に就いていたことからすれば，素晴らしい生産性だと言えるだろう．内容は，音響学，毛管現象，一般相対論，比熱などである．公刊されたもの以外にも，一般相対論や統計力学をはじめ，さまざまな理論的問題を論じたノートや書簡が残っている．

シュレーディンガーはシュヴァイドラーからゆらぎの理論への興味を受け継ぎ，1914年後半にはゆらぎと乳光についてのノートを完成させているが，これはレイリー卿，スモルコフスキー，アインシュタインの研究に連なるものだった．1913年，スモルコフスキーは，ゆらぎの問題を「熱力学的・エネルギー的世界観と原子論的・運動論的世界観の衝突」と表現したが，シュレーディンガーはこれに魅かれた．シュレーディンガーは，スモルコフスキーとボルツマンとの関係を論じた．ボルツマン的な自然観におけるミクロの原子的世界（多くの変数）とマクロの熱力学的世界（少数の変数）の関係を検討し，ゆらぎを含めても，なお統計力学は，そしてボルツマン的な自然観は正しいことを主張した．シュレーディンガーはスモルコフスキーから，自然法則は観測者の主観に依存してはならないこと，時間的な動力学的発展の重要性，理論的推論と実験的検証の緊密な関係を学んだ．

シュヴァイドラーは，放射性崩壊が統計的性質を持つことをゆらぎの性質によって示そうとしたが，批判も多く，放射性崩壊一般のゆらぎの存在についてはいまだ決着を見ていなかった．シュレーディンガーはその統計的理論と，実験的設定の理論を構築しようとした．ゆらぎについては既にアインシュタイン，フォッカー，プランクらの研究があったが，シュレーディンガーはこのうちフォッカー=プランクの関係式を一般化してこの問題に向かい，シュヴァイドラーの仮説が正しいことを示す実験的証明へとつながった．ヴィーンでは，この類の実験研究が盛んであり，シュレーディンガーはそのような環境下で研究をしていた．

シュレーディンガーは固体の比熱の問題を通じて量子論に関わるようになった．比熱の理論はボルツマン，アインシュタイン，ネルンスト，リンデマン，デバイ，ボルン，カルマンによって発展するが，この経過をシュレーディンガーは複数のレビュー論文にまとめた（1917〜19年）．その記述は正確であり，古典物理学の発想とその破綻を徹底的にかつ批判的に分析していた．また，実験装置の記述や，理論値と実験値の比較にも意を払った．比熱の問題に注意を払った結果，シュレーディンガーは量子論の基礎的な側面に注意を向けることになり，黒体放射や量子仮説，ネルンストの熱定理を通じて量子論が必要であることを認めた．プランクの量子論と固体の運動論的描像を統一することがボルツマンの理想にかなう．

1917年頃から，ヴィーンではルートヴィヒ・フラム（Ludwig Flamm, 1885–1964）が新たな量子論の擁護者として登場したことに注意しておこう．彼は電子やスペクトル線について研究しつつ，その成果を比熱や放射の問題に適用して量子論を探ることを目指していた．スペクトル線の研究からは，いくつかの定常状態をもつ量子系については，状態和（分配関数）を構成できて，そこから熱的な性質を導くことができるが，フラムは調和振動子，デバイの弾性体，二原子分子の回転などの例を示した（1918）．また，熱的な性質の量子論的な表現を得るための単純化された方法を考えた（1918）．フラムはシュレーディンガーと同様，統計力学から出発して量子論を論じていた．それはボルツマンの遺産を継承することだった．

その他，一般相対論や哲学についての論文やノート・草稿が残っている．

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J. Mehra and H. Rechenberg, The Historical Development of Quantum Theory, Vol. 5 (New York: Springer, 1987), Foreword and General Introduction.

量子論の歴史を包括的に記述したMehraとRechenbergの大著 The Historical Development of Quantum Theory の第5巻は，シュレーディンガーの波動力学に関するものである．その導入部を読んだ．

シュレーディンガーは波動力学，特にシュレーディンガー方程式の定式化（1926）で知られるが，これは1926年に突然出現したのではない．ド・ブローイの物質波の影響もさることながら，シュレーディンガーのそれ以前の研究の文脈の上に波動力学の形成を位置付けるべきである．

1925年前後の量子論をめぐる状況をまとめておく．1925年のハイゼンベルクの行列力学，そしてディラックのq数の理論によって新しい力学——量子力学——が誕生し，このような代数的なアプローチが量子の世界では本質的なのかと思われたが，1925年12月にボルンとウィーナーが示したところでは，古典力学と量子力学の違いはそれほどに大きくはない．彼らの「演算子力学」では，古典力学の微分方程式が回復するどころか，量子論的な問題がそれに対応する古典論的な問題と同じ解を持つことがある．同様のことは，同じ時期に，ランチョスの線形積分方程式の理論でも主張されていた．1926年初頭の段階では，ハイゼンベルク=ボルン=ヨルダンの行列力学，ディラックのq数の理論，ボルン=ウィーナーの演算子力学，ランチョスの積分方程式表現の四つの等価な理論があり，それらを使って原子理論の困難を解消し，またさらに応用することが目指された．しかし，物理学者たちはより簡便な表現を求めた．シュレーディンガーの波動力学はこの課題に答えるものであり，偏微分方程式による強力な計算法として機能した．

いくつかの疑問が湧く．いったいどのようにして，ハイゼンベルクの行列力学が登場してまもない頃にシュレーディンガーは代替案を提示してたのだろうか？また，どうしてチューリヒという，特に量子論において際立った業績を挙げていたわけでもない場所から波動力学が登場したのだろうか？さらにシュレーディンガーは当時37歳で，統計力学などの分野では認知されていた一線級の物理学者だったが，どうしてこのような人物からブレークスルーが生まれたのだろうか？

1900年代から1920年代にかけて，シュレーディンガーは，物理学，気象学，色彩論，生理光学，生物学といった，きわめて広範な領域で研究を行っており，物理学に限っても，磁気，異常散乱，固体の原子構造，格子力学，一般相対論，ゆらぎといった諸問題について論文を書いていた．シュレーディンガーは1912年ごろから原子理論に関わっており，十分な知識を備え，評判も得ていた．さらに，チューリヒという地理的状況は，外野から原子理論の状況を注意深く観察することに役立った．また，波動力学誕生の直前には，チューリヒでシュレーディンガーは統計物理学の問題に集中しており，これが波動力学の形成に寄与した．シュレーディンガーは，量子力学の完成期にあたって，同種粒子の統計という，当時の量子力学の中心的な話題からはやや離れた問題をプランクと議論していた．これは観察者としての彼の態度から来たものだが，これが波動力学の定式化へとつながった．波動力学は，行列力学との等価性が証明されると，すぐに物理学者のあいだに広まっていった．また，行列力学とは対照的に，連続的な特徴をもっていた．

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Kurt Bayertz, “Was ist moderner Materialismus?” in Kurt Bayertz, Myriam Gerhard, and Walter Jaeschke (eds.), Weltanschauung, Philosophie und Naturwissenschaft im 19. Jahrhundert, Band 1: Der Materialismus-Streit (Hamburg: Felix Meiner, 2007), 50–70.

唯物論は，大まかに言えば実在論的であり，また精神や意識に対する物質の優越性を認め，さらに倫理的には現世での幸福を肯定する此岸性を持つ．実はこの三つの要素のあいだには必然的な関係はなく，「唯物論」なるものを明瞭に規定することは困難である．この論考では唯物論を古典的唯物論と近代的唯物論に分けた上で，フォークト，モレショット，ビュヒナーらに代表される19世紀の近代的唯物論に共通して見られる特徴をまとめる．

古典的な唯物論は自然に依拠していたが，近代的唯物論は自然のかわりに自然科学に依拠し（これこそビュヒナーが強調したことであった），それを哲学的に一般化しようとした．唯物論と自然科学には類似点もあるが，前者は実在論的原理であるのに対し，後者は方法論的原理であるので，唯物論は自然科学を超えたことを言っていることに注意しなければならない．さて，科学は変化するものなので，そのたびごとに唯物論も変化することになってしまう．これを避けるには，ひとつには最新の流行をつねに追いかけること（たとえばダーウィニズムへの転換），もうひとつは自然科学を自然に対するひとつの態度あるいは方法と取ることだ．だが後者は，もともとの形而上学的な動機を失い，統一的な世界観を提供できなくなる．自然科学に依拠することで，われわれの主観的な領域は居場所を持たなくなるのだ．たとえば私にとって死が何を意味するのか，唯物論は答えない．

近代的唯物論は何よりもまず理論哲学の枠に入るのであって，倫理的な含意は二次的とみなされていた（これは古代の唯物論とは反対である）が，それでも近代的唯物論には実践的側面があった．それは何よりも，個人的な領域ではなく人間の生活条件（Lebensbedingungen）を改善するという意味での実践であった．幸福を得るためには，内的な条件ではなく外的な条件を改善するべきである．それゆえ近代的唯物論は政治的含意を持った．この点は宗教および教会批判も同様である．そして生活条件の改善につながるのは技術的達成であると主張した近代的唯物論は，（安易に響くであろうが）科学万能主義あるいは技術万能主義でもあった．

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Kurt Bayertz and Myriam Gerhard and Walter Jaeschke, “Einleitung,” in Weltanschauung, Philosophie und Naturwissenschaft im 19. Jahrhundert, Band 1: Der Materialismus-Streit (Hamburg: Felix Meiner, 2007), 7–21.

19世紀ドイツにおける自然科学と世界観および宗教との関係についての論考を集めた論集の序文．この巻では唯物論を扱う．19世紀に哲学は，自然科学の圧倒的な発達と技術的応用を目の当たりにした．また，自然科学はもとは哲学から生まれたのだが，その認識の様式はまったく異なっていた．そこで，科学に特有の思考法の認識論的分析が問題となった（新カント派，実証主義，経験主義）．

哲学から生まれた自然科学，そして唯物論は，哲学を解消しようとしたのみならず，それまで哲学の専売特許だった世界観をも改革しようとした．唯物論は大学のみならず，市民階層や労働者にも波及し，特にドイツで激しさをました．1848年の革命の失敗によって唯物論は勢いを増したが，それは政治的文脈と強固に結びついていた，というのが伝統的な説明である．

19世紀には代表的な三つの論争があった．唯物論論争は，はじめて自然科学的世界観と社会改革プログラムが一般的な興味を引いたという点で重要であり，哲学，宗教，自然科学の関係をめぐった問題設定はここで詳しく論じられた．ダーウィニズムをめぐる論争（1859年）は，時期的にも内容的にも人物的にも唯物論論争の継続である．他方でイグノラビムス論争（1872年）は，科学の全能性を疑問視した論争と言えるが，ここでは科学の認識論的な側面のみが問題になったのだが，それは科学的世界像の可能性を疑問視することでもあった．

唯物論論争は哲学的に「浅薄」と評されることが多く，それゆえ，これまでに出た唯物論についてのほぼ唯一のモノグラフ（Gregory, Scientific Materialism in Nineteenth Century Germany, Dordrecht, 1977）は科学史分野から出たのであった．この論集には，以下の四つの問題群に関する論考を収めている．

1. 歴史的文脈．1848年の革命に対する反応という唯物論の見方はあやまりではないが，修正を要する．まず，唯物論の出現は1848年よりも前である（フォイエルバッハ，フォークト）．革命はこれらの普及や受容を加速したと言える．フランスの実証主義やイギリスの功利主義の隆盛など，欧州全体の状況も重要である．
2. より広い世界観あるいは文化に関する潮流．モレショット，フォークト，ビュヒナーの3名だけでは不十分で，より広い世界観の潮流を考慮に入れなければならない．政治的な理由で唯物論を自称しなかった者もいる．唯物論とは当時にあっては哲学に限定されない大きな文化的潮流だった．芸術における写実主義や自然主義と唯物論とのつながりは，当時の人々にとっては自明であった．
3. 哲学的立場としての唯物論を正確に特徴付ける必要がある．また，この時代の唯物論が，唯物論全体の歴史の中でどのような位置付けなのかも問題だ．自然科学に依拠し，哲学を拒絶する態度は，「科学的哲学」とでも特徴付けられよう．また，科学に対する態度を，ほかの哲学的立場と比較する必要がある．
4. 唯物論の影響．新カント派や論理経験主義者との関係は見過すことはできない．

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